Доказательство суммы углов вписанного четырехугольника

28.06.2025 в 22:48

Вписанный четырехугольник - это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Докажем важное свойство такой фигуры: сумма его противоположных углов равна 180°.

Теорема о вписанном четырехугольнике

Для любого вписанного четырехугольника ABCD выполняется:

• ∠A + ∠C = 180°
• ∠B + ∠D = 180°

Доказательство теоремы

Шаг 1: Вспомним свойства вписанных углов

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

• ∠A опирается на дугу BCD
• ∠C опирается на дугу BAD

Шаг 2: Выразим углы через дуги

Шаг 3: Сложим противоположные углы

∠A + ∠C = ½◡BCD + ½◡BAD = ½(◡BCD + ◡BAD)

Шаг 4: Анализируем сумму дуг

◡BCD + ◡BAD = 360°, так как вместе они составляют полную окружность.

Шаг 5: Получаем итоговый результат

∠A + ∠C = ½ × 360° = 180°

Аналогично доказывается, что ∠B + ∠D = 180°

Обратная теорема

Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около него можно описать окружность.

Доказательство обратной теоремы

1. Рассмотрим четырехугольник ABCD с ∠A + ∠C = 180°
2. Опишем окружность около треугольника ABD
3. Докажем, что точка C также лежит на этой окружности
4. Если бы C не лежала на окружности, ∠C не равнялся бы 180° - ∠A
5. Значит, C принадлежит окружности

Пример применения теоремы

Доказанное свойство вписанных четырехугольников широко применяется в геометрических задачах и построениях, а также в различных областях науки и техники.