Балетки с доставкой

Доказательство суммы углов вписанного четырехугольника

Дата публикации

28.06.2025 в 19:48

Вписанный четырехугольник - это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Докажем важное свойство такой фигуры: сумма его противоположных углов равна 180°.

Теорема о вписанном четырехугольнике

Для любого вписанного четырехугольника ABCD выполняется:

  • ∠A + ∠C = 180°
  • ∠B + ∠D = 180°

Доказательство теоремы

Шаг 1: Вспомним свойства вписанных углов

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

  • ∠A опирается на дугу BCD
  • ∠C опирается на дугу BAD

Шаг 2: Выразим углы через дуги

УголВыражение через дуги
∠A½◡BCD
∠C½◡BAD

Шаг 3: Сложим противоположные углы

∠A + ∠C = ½◡BCD + ½◡BAD = ½(◡BCD + ◡BAD)

Шаг 4: Анализируем сумму дуг

◡BCD + ◡BAD = 360°, так как вместе они составляют полную окружность.

Шаг 5: Получаем итоговый результат

∠A + ∠C = ½ × 360° = 180°

Аналогично доказывается, что ∠B + ∠D = 180°

Обратная теорема

Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около него можно описать окружность.

Доказательство обратной теоремы

  1. Рассмотрим четырехугольник ABCD с ∠A + ∠C = 180°
  2. Опишем окружность около треугольника ABD
  3. Докажем, что точка C также лежит на этой окружности
  4. Если бы C не лежала на окружности, ∠C не равнялся бы 180° - ∠A
  5. Значит, C принадлежит окружности

Пример применения теоремы

Дано:Вписанный четырехугольник ABCD с ∠A = 75° и ∠B = 95°
Найти:∠C и ∠D
Решение:
  • ∠A + ∠C = 180° ⇒ ∠C = 180° - 75° = 105°
  • ∠B + ∠D = 180° ⇒ ∠D = 180° - 95° = 85°

Доказанное свойство вписанных четырехугольников широко применяется в геометрических задачах и построениях, а также в различных областях науки и техники.

Похожие статьи

Ознакомьтесь с другими похожими статьями, которые могут быть вам полезны.

MiniBIT - это услуга моментальных микроплатежей от МТС Беларусь. Рассмотрим все способы подключения и использо…

Досрочное погашение кредита позволяет сократить переплату по процентам и быстрее избавиться от долговых обязат…

Политика доставки в маркетплейсе Валберис предусматривает как бесплатные, так и платные варианты получения зак…

Для полного доступа к функциям Ozon Карты требуется подтверждение личности. Рассмотрим процесс верификации чер…

Расчет ипотечного платежа можно выполнить самостоятельно, не прибегая к помощи банковских специалистов. Для эт…

Привязка номера телефона к карте Россельхозбанка необходима для безопасного использования интернет-банка, моби…

Обоснование заработной платы - важный процесс как для работодателей при формировании штатного расписания, так …

Многие клиенты Сбербанка сталкиваются с вопросом: как правильно произносить название мобильного приложения – "…

Некоторые почтовые сервисы не позволяют полностью удалить аккаунт, а только деактивируют его. Уточните условия…


Новинки