Женская обувь с доставкой

Доказательство суммы углов вписанного четырехугольника

Дата публикации

28.06.2025 в 19:48

Вписанный четырехугольник - это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Докажем важное свойство такой фигуры: сумма его противоположных углов равна 180°.

Теорема о вписанном четырехугольнике

Для любого вписанного четырехугольника ABCD выполняется:

  • ∠A + ∠C = 180°
  • ∠B + ∠D = 180°

Доказательство теоремы

Шаг 1: Вспомним свойства вписанных углов

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

  • ∠A опирается на дугу BCD
  • ∠C опирается на дугу BAD

Шаг 2: Выразим углы через дуги

УголВыражение через дуги
∠A½◡BCD
∠C½◡BAD

Шаг 3: Сложим противоположные углы

∠A + ∠C = ½◡BCD + ½◡BAD = ½(◡BCD + ◡BAD)

Шаг 4: Анализируем сумму дуг

◡BCD + ◡BAD = 360°, так как вместе они составляют полную окружность.

Шаг 5: Получаем итоговый результат

∠A + ∠C = ½ × 360° = 180°

Аналогично доказывается, что ∠B + ∠D = 180°

Обратная теорема

Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около него можно описать окружность.

Доказательство обратной теоремы

  1. Рассмотрим четырехугольник ABCD с ∠A + ∠C = 180°
  2. Опишем окружность около треугольника ABD
  3. Докажем, что точка C также лежит на этой окружности
  4. Если бы C не лежала на окружности, ∠C не равнялся бы 180° - ∠A
  5. Значит, C принадлежит окружности

Пример применения теоремы

Дано:Вписанный четырехугольник ABCD с ∠A = 75° и ∠B = 95°
Найти:∠C и ∠D
Решение:
  • ∠A + ∠C = 180° ⇒ ∠C = 180° - 75° = 105°
  • ∠B + ∠D = 180° ⇒ ∠D = 180° - 95° = 85°

Доказанное свойство вписанных четырехугольников широко применяется в геометрических задачах и построениях, а также в различных областях науки и техники.

Похожие статьи

Ознакомьтесь с другими похожими статьями, которые могут быть вам полезны.

Идентификация в МТС необходима для полноценного использования услуг связи и защиты от мошенничества. Рассмотри…

Запись на прием к врачу через портал Госуслуги позволяет выбрать удобное время посещения без необходимости лич…

Золотая карта Макдональдс - это программа лояльности, предоставляющая постоянным клиентам сети дополнительные …

Цифровая карта лояльности Пятерочки позволяет использовать смартфон вместо пластиковой карты. Рассмотрим проце…

Просмотр списка подписок в TikTok позволяет управлять контентом, на который вы подписаны. Рассмотрим различные…

Анонимные звонки (сокрытие номера) могут быть полезны в определенных ситуациях, но иногда эту функцию необходи…

Электронная временная регистрация по месту пребывания через портал Госуслуги значительно упрощает процесс офор…

Подписки МТС Премиум SMS предоставляют платный контент, но если вы хотите их отключить, существует несколько с…

Если вам нужно определить, является ли номер телефона абонентом МТС, или найти контакты оператора связи, сущес…


Новинки